ZÁKLADNÉ POJMY VEKTOROVEJ ALGEBRA

Skalárne a vektorové veličiny

Z kurzu elementárnej fyziky je známe, že niektoré fyzikálne veličiny, ako je teplota, objem, telesná hmotnosť, hustota atď., sú určené len číselnou hodnotou. Takéto množstvá sa nazývajú skaláry, alebo skaláre.

Na určenie niektorých ďalších veličín, ako je sila, rýchlosť, zrýchlenie a podobne, je potrebné okrem číselných hodnôt nastaviť aj ich smer v priestore. Veličiny, ktoré sú okrem absolútnej veličiny charakterizované aj smerom, sa nazývajú vektor.

Definícia Vektor je riadený segment, ktorý je definovaný dvoma bodmi: prvý bod definuje začiatok vektora a druhý - jeho koniec. Preto tiež hovoria, že vektor je usporiadaná dvojica bodov.

Na obrázku je vektor znázornený ako priamka, na ktorej šípka označuje smer od začiatku vektora po jeho koniec. Napríklad obr. 2.1.

Ak sa začiatok vektora zhoduje s bodom a končí bodkou , potom sa označí vektor
. Okrem toho sú vektory často označené jedným malým písmenom so šípkou nad ním. . V knihách sa niekedy šípka vynecháva, potom sa na označenie vektora používa tučné písmo.

Vektory sú nulový vektor ktorý má rovnaký začiatok a koniec. Označuje sa alebo jednoducho .

Vzdialenosť medzi začiatkom a koncom vektora sa nazýva jeho dĺžka alebo modul. Vektorový modul je označený dvoma zvislými pruhmi vľavo:
, alebo bez šípok
alebo .

Voláme vektory, ktoré sú rovnobežné s jednou čiarou kolineárne.

Nazývajú sa vektory ležiace v rovnakej rovine alebo rovnobežné s rovnakou rovinou koplanárny.

Nulový vektor sa považuje za kolineárny s akýmkoľvek vektorom. Jeho dĺžka je 0.

Definícia Dva vektory
A
sa nazývajú rovné (obr. 2.2), ak:
1)kolineárne; 2) v spoločnej réžii 3) rovnakej dĺžky.

Píše sa to takto:
(2.1)

Z definície rovnosti vektorov vyplýva, že pri paralelnom prenose vektora sa získa vektor, ktorý sa rovná počiatočnému, preto je možné začiatok vektora umiestniť do ľubovoľného bodu v priestore. Takéto vektory (v teoretickej mechanike, geometrii), ktorých začiatok môže byť umiestnený v akomkoľvek bode priestoru, sa nazývajú zadarmo. A práve tieto vektory budeme uvažovať.

Definícia Vektorový systém
sa nazýva lineárne závislý, ak takéto konštanty existujú
, medzi ktorými je aspoň jeden iný ako nula a pre ktorý platí rovnosť.

DefiníciaĽubovoľné tri nekoplanárne vektory, ktoré sú vzaté v určitej sekvencii, sa nazývajú báza v priestore.

Definícia Ak
- základ a vektor, potom čísla
sa nazývajú súradnice vektora v tomto základe.

Súradnice vektora budeme zapisovať do zložených zátvoriek za označenie vektora. Napríklad,
znamená, že vektor v niektorom zvolenom základe má rozklad:
.

Z vlastností násobenia vektora počtom a sčítania vektorov vyplýva tvrdenie o lineárnych akciách na vektoroch, ktoré sú dané súradnicami.

Aby sme našli súradnice vektora, ak sú známe súradnice jeho začiatku a konca, je potrebné odpočítať súradnicu začiatku od zodpovedajúcej súradnice jeho konca.

Lineárne operácie s vektormi

Lineárne operácie s vektormi sú operácie sčítania (odčítania) vektorov a násobenia vektora číslom. Zvážme ich.

Definícia Vektorový produkt za číslo
sa nazýva vektor zhodný v smere s vektorom , Ak
, ktorý má opačný smer, ak
negatívne. Dĺžka tohto vektora sa rovná súčinu dĺžky vektora na číslo modulu
.

P príklad . Zostavte vektor
, Ak
A
(obr. 2.3).

Keď sa vektor vynásobí číslom, jeho súradnice sa vynásobia týmto číslom..

Skutočne, ak, potom

Vektorový produkt na
nazývaný vektor
;
- opačný smer .

Všimnite si, že sa volá vektor, ktorého dĺžka je 1 slobodný(alebo orto).

Pomocou operácie násobenia vektora číslom možno ľubovoľný vektor vyjadriť ako jednotkový vektor rovnakého smeru. Vskutku, delenie vektora pre jeho dĺžku (t.j. násobenie na ), dostaneme jednotkový vektor rovnakého smeru ako vektor . Označíme to
. Z toho teda vyplýva
.

Definícia Súčet dvoch vektorov A nazývaný vektor , ktorý vychádza z ich spoločného pôvodu a je uhlopriečkou rovnobežníka, ktorého strany sú vektory A (obr. 2.4).

.

Podľa definície rovnakých vektorov
Preto
-trojuholníkové pravidlo. Pravidlo trojuholníka je možné rozšíriť na ľubovoľný počet vektorov a získať tak pravidlo mnohouholníka:
je vektor, ktorý spája začiatok prvého vektora s koncom posledného vektora (obr. 2.5).

Takže, aby sme skonštruovali súčtový vektor, je potrebné pripojiť začiatok druhého na koniec prvého vektora, na koniec druhého pripojiť začiatok tretieho atď. Potom súčtový vektor bude vektor, ktorý spája začiatok prvého z vektorov s koncom posledného.

Po pridaní vektorov sa pridajú aj ich zodpovedajúce súradnice

Skutočne, ak a
,

Ak vektory
A nie sú koplanárne, potom ich súčet je uhlopriečka
rovnobežnosten postavený na týchto vektoroch (obr. 2.6)

,

Kde

Vlastnosti:

- komutatívnosť;

- asociativita;

- distributivita vzhľadom na násobenie číslom

.

Tie. vektorový súčet možno transformovať podľa rovnakých pravidiel ako algebraický.

DefiníciaRozdiel dvoch vektorov A sa nazýva takýto vektor , ktorý po pridaní do vektora dáva vektor . Tie.
Ak
. Geometricky predstavuje druhú uhlopriečku rovnobežníka postaveného na vektoroch A so spoločným začiatkom a smerované od konca vektora na koniec vektora (obr. 2.7).

Premietanie vektora na os. Vlastnosti projekcie

Spomeňte si na pojem číselná os. Číselná os je priamka, na ktorej:

smer (→);

referenčný bod (bod O);

segment, ktorý sa berie ako jednotka mierky.

Nech existuje vektor
a os . Z bodov A pustíme kolmice na os . Zoberme si body A - bodové projekcie A (obr. 2.8 a).

Definícia Vektorová projekcia
na nápravu nazývaná dĺžka segmentu
túto os, ktorá sa nachádza medzi základňami priemetov začiatku a konca vektora
na nápravu . Berie sa so znamienkom plus, ak je smer segmentu
sa zhoduje so smerom osi premietania a so znamienkom mínus, ak sú tieto smery opačné. Označenie:
.

O definícia Uhol medzi vektorom
a os nazývaný uhol , ktorým je potrebné osou otáčať najkratším spôsobom tak, aby sa zhodoval so smerom vektora
.

Poďme nájsť
:

Obrázok 2.8 a zobrazuje:
.

Na obr. 2,8 b): .

Priemet vektora na os sa rovná súčinu dĺžky tohto vektora a kosínusu uhla medzi vektorom a osou projekcie:
.

Vlastnosti projekcie:

Ak
, potom sa vektory nazývajú ortogonálne

Príklad . Sú uvedené vektory
,
.Potom

.

Príklad. Ak je začiatok vektora
je na mieste
a končí v bode
, potom vektor
má súradnice:

O definícia Uhol medzi dvoma vektormi A nazývaný najmenší uhol
(obr. 2.13) medzi týmito vektormi, zredukované na spoločný začiatok .

Uhol medzi vektormi A symbolicky napísané takto: .

Z definície vyplýva, že uhol medzi vektormi sa môžu v rámci
.

Ak
, potom sa vektory nazývajú ortogonálne.

.

Definícia. Kosínusy uhlov vektora so súradnicovými osami sa nazývajú smerové kosínusy vektora. Ak je vektor
zviera uhly so súradnicovými osami

.

Najprv si pripomeňme, čo je súradnicová os, premietanie bodu na os A súradnice bodu na osi.

Súradnicová os je priamka, ktorá má daný smer. Môžete si to predstaviť ako vektor s nekonečne veľkým modulom.

Súradnicová os označuje sa ľubovoľným písmenom: X, Y, Z, s, t ... Zvyčajne sa na osi (ľubovoľne) volí bod, ktorý sa nazýva počiatok a spravidla sa označuje písmenom O. Vzdialenosti k iným body, ktoré nás zaujímajú, sa merajú od tohto bodu.

Premietanie bodu na os- ide o základňu kolmice spadnutú z tohto bodu na danú os (obr. 8). To znamená, že priemet bodu na os je bod.

Súradnice bodu na os je číslo, ktorého absolútna hodnota sa rovná dĺžke segmentu osi (vo zvolenej mierke) uzavretého medzi začiatkom osi a priemetom bodu na túto os. Toto číslo sa berie so znamienkom plus, ak je priemet bodu umiestnený v smere osi od jej začiatku a so znamienkom mínus, ak je v opačnom smere.

Skalárne premietanie vektora na os- Toto číslo, ktorej absolútna hodnota sa rovná dĺžke segmentu osi (vo zvolenej mierke) uzavretého medzi priemetmi začiatočného bodu a koncového bodu vektora. Dôležité! Zvyčajne namiesto výrazu skalárne premietanie vektora na os len hovoria - premietanie vektora na os, teda slovo skalárne znížená. Vektorová projekcia označené rovnakým písmenom ako premietaný vektor (normálnym, nie tučným písmom), s dolným indexom (zvyčajne) názvu osi, na ktorú sa tento vektor premieta. Napríklad, ak sa vektor premieta na os x A, potom jeho priemet označíme a x . Pri premietaní rovnakého vektora na inú os, povedzme os Y, budeme jeho priemet označovať ako y (obr. 9).

Kalkulovať vektorová projekcia na os(napríklad os X) je potrebné odpočítať súradnicu začiatočného bodu od súradnice jeho koncového bodu, tj.

a x \u003d x k - x n.

Musíme si pamätať: skalárna projekcia vektora na os (alebo jednoducho projekcia vektora na os) je číslo (nie vektor)! Okrem toho môže byť projekcia kladná, ak je hodnota x k väčšia ako hodnota x n, záporná, ak je hodnota x k menšia ako hodnota x n, a rovná nule, ak je x k rovné x n (obr. 10).

Projekciu vektora na os možno nájsť aj tak, že poznáme modul vektora a uhol, ktorý zviera s touto osou.

Obrázok 11 ukazuje, že a x = a Cos α

To znamená, že priemet vektora na os sa rovná súčinu vektorového modulu a kosínusu uhla medzi smerom osi a smerom vektora. Ak je uhol ostrý, potom Cos α > 0 a a x > 0, a ak je tupý, kosínus tupého uhla je záporný a projekcia vektora na os bude tiež záporná.

Uhly počítané od osi proti smeru hodinových ručičiek sa považujú za pozitívne av smere - negatívne. Keďže je však kosínus párna funkcia, to znamená Cos α = Cos (− α), potom pri výpočte projekcií možno uhly počítať v smere aj proti smeru hodinových ručičiek.

Pri riešení úloh sa často využijú tieto vlastnosti projekcií: ak

A = b + c +…+ d, potom a x = b x + c x +…+ d x (podobne ako pre ostatné osi),

a= m b, potom a x = mb x (podobne ako pre ostatné osi).

Vzorec a x = a Cos α bude Často stretnúť pri riešení problémov, tak to musí byť známe. Musíte poznať pravidlo na určenie projekcie srdcom!

Pamätajte!

Na nájdenie projekcie vektora na os je potrebné modul tohto vektora vynásobiť kosínusom uhla medzi smerom osi a smerom vektora.

Ešte raz - RÝCHLO!

Vo fyzike pre 9. ročník (I.K. Kikoin, A.K. Kikoin, 1999),
úloha №5
do kapitoly" KAPITOLA 1. VŠEOBECNÉ INFORMÁCIE O POHYBE».

1. Ako sa nazýva premietanie vektora na súradnicovú os?

1. Priemet vektora a na súradnicovú os je dĺžka úseku medzi priemetom začiatku a konca vektora a (kolmice spustené z týchto bodov na os) na túto súradnicovú os.

2. Ako súvisí vektor posunutia telesa s jeho súradnicami?

2. Priemet vektora posunutia s na súradnicové osi sa rovnajú zmene príslušných súradníc telesa.

3. Ak sa súradnica bodu časom zväčšuje, aké znamienko má potom priemet vektora posunutia na súradnicovú os? Čo ak sa zníži?

3. Ak sa súradnica bodu časom zväčší, potom bude priemet vektora posunutia na súradnicovú os kladný, pretože v tomto prípade prejdeme od priemetu začiatku k priemetu konca vektora v smere samotnej osi.

Ak sa súradnica bodu časom znižuje, potom bude priemet vektora posunutia na súradnicovú os záporný, pretože v tomto prípade prejdeme od priemetu začiatku k priemetu konca vektora proti samotnej smerovacej osi.

4. Ak je vektor posunutia rovnobežný s osou X, aký je modul premietania vektora na túto os? A čo modul premietania toho istého vektora na os Y?

4. Ak je vektor posunutia rovnobežný s osou X, potom sa modul premietania vektora na túto os rovná modulu samotného vektora a jeho priemet na os Y je nulový.

5. Určte znamienka priemetov na os X vektorov posunutia znázornených na obrázku 22. Ako sa pri týchto posunoch menia súradnice telesa?

5. Vo všetkých nasledujúcich prípadoch sa súradnica Y telesa nemení a súradnica X telesa sa zmení nasledovne:

a) s1;

priemet vektora s 1 na os X je záporný a modulo sa rovná dĺžke vektora s 1 . Pri takomto posunutí sa X súradnica telesa zmenší o dĺžku vektora s 1 .

b) s2;

priemet vektora s 2 na os X je kladný a v absolútnej hodnote sa rovná dĺžke vektora s 1 . Pri takomto posunutí sa X súradnica telesa zväčší o dĺžku vektora s 2 .

c) s3;

priemet vektora s 3 na os X je záporný av absolútnej hodnote sa rovná dĺžke vektora s 3 . Pri takomto posunutí sa X súradnica telesa zmenší o dĺžku vektora s 3 .

d) s4;

priemet vektora s 4 na os X je kladný a v absolútnej hodnote sa rovná dĺžke vektora s 4 . Pri takomto posunutí sa X súradnica telesa zväčší o dĺžku vektora s 4 .

e) s5;

priemet vektora s 5 na os X je záporný av absolútnej hodnote sa rovná dĺžke vektora s 5 . Pri takomto posunutí sa X súradnica telesa zmenší o dĺžku vektora s 5 .

6. Ak je prejdená vzdialenosť veľká, môže byť modul posunutia malý?

6. Možno. Je to spôsobené tým, že posunutie (vektor posunutia) je vektorová veličina, t.j. je nasmerovaná priamka spájajúca počiatočnú polohu tela s jeho nasledujúcimi polohami. A konečná poloha tela (bez ohľadu na prejdenú vzdialenosť) sa môže ľubovoľne blížiť počiatočnej polohe tela. Ak sa konečná a počiatočná poloha telesa zhodujú, modul posunutia sa bude rovnať nule.

7. Prečo je v mechanike dôležitejší vektor posunutia telesa ako dráha, po ktorej prešlo?

7. Hlavnou úlohou mechanika je kedykoľvek určiť polohu tela. Pri poznaní vektora posunutia telesa vieme určiť súradnice telesa, t.j. polohu telesa v akomkoľvek čase a keďže poznáme iba prejdenú vzdialenosť, nemôžeme určiť súradnice telesa, pretože nemáme informácie o smere pohybu, ale vieme posúdiť len dĺžku prejdenej dráhy v danom čase.

odpoveď:

Vlastnosti projekcie:

Vlastnosti vektorovej projekcie

Nehnuteľnosť 1.

Priemet súčtu dvoch vektorov na os sa rovná súčtu priemetov vektorov na rovnakú os:

Táto vlastnosť umožňuje nahradiť projekciu súčtu vektorov súčtom ich projekcií a naopak.

Nehnuteľnosť 2. Ak sa vektor vynásobí číslom λ, potom sa jeho priemet na os tiež vynásobí týmto číslom:

Nehnuteľnosť 3.

Priemet vektora na os l sa rovná súčinu modulu vektora a kosínusu uhla medzi vektorom a osou:

Orthova os. Rozklad vektora z hľadiska súradnicových vektorov. Vektorové súradnice. Vlastnosti súradníc

odpoveď:

Horts of os.

Obdĺžnikový súradnicový systém (akéhokoľvek rozmeru) je tiež opísaný množinou jednotkových vektorov zarovnaných so súradnicovými osami. Počet ortov sa rovná rozmeru súradnicového systému a všetky sú na seba kolmé.

V trojrozmernom prípade sa zvyčajne označujú orty

AND Symboly so šípkami a môžu byť tiež použité.

Navyše v prípade pravého súradnicového systému platia nasledujúce vzorce s vektorovými súčinmi vektorov:

Rozklad vektora z hľadiska súradnicových vektorov.

Orta súradnicovej osi je označená , osi - by , osi - by (obr. 1)

Pre každý vektor, ktorý leží v rovine, prebieha nasledujúci rozklad:

Ak je vektor sa nachádza v priestore, potom expanzia z hľadiska jednotkových vektorov súradnicových osí má tvar:

Vektorové súradnice:

Ak chcete vypočítať súradnice vektora, ak poznáte súradnice (x1; y1) jeho začiatku A a súradnice (x2; y2) jeho konca B, musíte od koncových súradníc odpočítať súradnice začiatku: (x2 - x1; y2 - y1).

Vlastnosti súradníc.

Uvažujme súradnicovú čiaru s počiatkom v bode O a jednotkový vektor i. Potom pre ľubovoľný vektor a na tomto riadku platí: a = axi.

Číslo osi sa nazýva súradnica vektora a na osi súradníc.

Nehnuteľnosť 1. Pri pridávaní vektorov na osi sa pridávajú ich súradnice.

Nehnuteľnosť 2. Keď sa vektor vynásobí číslom, jeho súradnica sa vynásobí týmto číslom.

Skalárny súčin vektorov. Vlastnosti.

odpoveď:

Skalárny súčin dvoch nenulových vektorov je číslo,

rovná súčinu týchto vektorov kosínusom uhla medzi nimi.

Vlastnosti:

1. Skalárny súčin má komutatívnu vlastnosť: ab=ba

Skalárny súčin súradnicových vektorov. Určenie skalárneho súčinu vektorov daného ich súradnicami.

odpoveď:

Bodový súčin (×) orts

(X)	ja	J	K
ja
J
K

Určenie skalárneho súčinu vektorov daného ich súradnicami.

Skalárny súčin dvoch vektorov a daný ich súradnicami možno vypočítať podľa vzorca

Vektorový súčin dvoch vektorov. Vlastnosti vektorového produktu.

odpoveď:

Tri nekoplanárne vektory tvoria pravú trojicu, ak od konca tretieho vektora je rotácia od prvého vektora k druhému proti smeru hodinových ručičiek. Ak v smere hodinových ručičiek - potom doľava., ak nie, potom naopak ( ukáž, ​​ako sa ukázal s „kľučkami“)

Krížový súčin vektora A na vektor b nazývaný vektor s ktorou:

1. Kolmo na vektory A A b

2. Má dĺžku, ktorá sa číselne rovná ploche vytvoreného rovnobežníka a A b vektory

3. vektory, a,b, A c tvoria správnu trojicu vektorov

Vlastnosti:

1.

3.

4.

Vektorový súčin súradnicových vektorov. Určenie vektorového súčinu vektorov daného ich súradnicami.

odpoveď:

Vektorový súčin súradnicových vektorov.

Určenie vektorového súčinu vektorov daného ich súradnicami.

Nech sú vektory a = (x1; y1; z1) a b = (x2; y2; z2) dané svojimi súradnicami v pravouhlej karteziánskej súradnicovej sústave O, i, j, k a trojité i, j, k je správny.

Rozšírime a a b z hľadiska základných vektorov:

a = x 1 i + y 1 j + z 1 k, b = x 2 i + y 2 j + z 2 k.

Pomocou vlastností vektorového súčinu získame

[A; b] ==

= x 1 x 2 + x 1 y 2 + x 1 z 2 +

+ y 1 x 2 + y 1 y 2 + y 1 z 2 +

+ z 1 x 2 + z 1 y 2 + z 1 z 2. (1)

Podľa definície vektorového súčinu nájdeme

= 0, = k, = - j,

= - k, = 0, = i,

= j, = - i. = 0.

Vzhľadom na tieto rovnosti môže byť vzorec (1) napísaný takto:

[A; b] = x 1 y 2 k - x 1 z 2 j - y 1 x 2 k + y 1 z 2 i + z 1 x 2 j - z 1 y 2 i

[A; b] = (yi z 2 - z 1 y 2) i + (z 1 x 2 - x 1 z 2) j + (x 1 y 2 - y 1 x 2) k. (2)

Vzorec (2) vyjadruje krížový súčin dvoch vektorov daný ich súradnicami.

Výsledný vzorec je ťažkopádny. Pomocou zápisu determinantov ho môžete napísať v inej forme, ktorá je vhodnejšia na zapamätanie:

Zvyčajne sa vzorec (3) píše ešte kratší:

Nech sú dva vektory a dané v priestore. Odložte z ľubovoľného bodu O vektory a . rohu medzi vektormi a nazýva sa najmenší z uhlov. Označené .

Zvážte os l a nakreslite naň jednotkový vektor (teda vektor, ktorého dĺžka sa rovná jednej).

Uhol medzi vektorom a osou l pochopiť uhol medzi vektormi a .

Tak nech l je nejaká os a je vektor.

Označiť podľa A 1 A B1 projekcie na osi l bodov A A B. Predstierajme to A 1 má súradnicu x 1, A B1- súradnica x2 na náprave l.

Potom projekcia vektor na os l sa nazýva rozdiel x 1 – x2 medzi súradnicami priemetov konca a začiatku vektora na túto os.

Premietanie vektora na os l budeme označovať .

Je jasné, že ak je uhol medzi vektorom a osou l ostrý potom x2> x 1 a projekcia x2 – x 1> 0; ak je tento uhol tupý, potom x2< x 1 a projekciou x2 – x 1< 0. Наконец, если вектор перпендикулярен оси l, To x2= x 1 A x2– x 1=0.

Teda premietanie vektora na os l je dĺžka segmentu A 1 B 1 brané s určitým znakom. Preto je projekcia vektora na os číslo alebo skalár.

Projekcia jedného vektora na druhý je definovaná podobne. V tomto prípade sa priemety koncov tohto vektora nachádzajú na priamke, na ktorej leží 2. vektor.

Pozrime sa na niektoré z hlavných projekčné vlastnosti.

LINEÁRNE ZÁVISLÉ A LINEÁRNE NEZÁVISLÉ SYSTÉMY VEKTOROV

Zoberme si niekoľko vektorov.

Lineárna kombinácia z týchto vektorov je ľubovoľný vektor v tvare , kde sú nejaké čísla. Čísla sa nazývajú koeficienty lineárnej kombinácie. Hovorí sa tiež, že v tomto prípade je lineárne vyjadrený v podmienkach daných vektorov, t.j. získané z nich lineárnymi operáciami.

Napríklad, ak sú uvedené tri vektory, potom vektory možno považovať za ich lineárnu kombináciu:

Ak je vektor reprezentovaný ako lineárna kombinácia niektorých vektorov, hovorí sa, že je rozložené pozdĺž týchto vektorov.

Vektory sú tzv lineárne závislé, ak sú také čísla, nie všetky sa rovnajú nule, že . Je jasné, že dané vektory budú lineárne závislé, ak niektorý z týchto vektorov bude lineárne vyjadrený v podmienkach ostatných.

V opačnom prípade, t.j. keď pomer vykonáva len vtedy , tieto vektory sa nazývajú lineárne nezávislé.

Veta 1. Akékoľvek dva vektory sú lineárne závislé práve vtedy, ak sú kolineárne.

Dôkaz:

Nasledujúca veta sa dá dokázať podobne.

Veta 2. Tri vektory sú lineárne závislé práve vtedy, ak sú koplanárne.

Dôkaz.

ZÁKLAD

Základ je súbor nenulových lineárne nezávislých vektorov. Prvky základu budú označené .

V predchádzajúcej časti sme videli, že dva nekolineárne vektory v rovine sú lineárne nezávislé. Preto podľa vety 1 z predchádzajúceho odseku sú základňou na rovine ľubovoľné dva nekolineárne vektory na tejto rovine.

Podobne akékoľvek tri nekoplanárne vektory sú v priestore lineárne nezávislé. Preto sa tri nekoplanárne vektory nazývajú bázou v priestore.

Nasledujúce tvrdenie je pravdivé.

Veta. Nech je daný základ v priestore. Potom môže byť ľubovoľný vektor reprezentovaný ako lineárna kombinácia , Kde X, r, z- nejaké čísla. Takýto rozklad je jedinečný.

Dôkaz.

Základ vám teda umožňuje jednoznačne priradiť každému vektoru trojicu čísel - koeficienty expanzie tohto vektora z hľadiska vektorov základu: . Platí to aj naopak, každá trojica čísel x, y, z pomocou základu môžete vektor porovnať, ak vytvoríte lineárnu kombináciu .

Ak základ a , potom čísla x, y, z volal súradnice vektorov v danej báze. Vektorové súradnice označujú .

KARTÉZSKÝ SÚRADNICOVÝ SYSTÉM

Nech je bod uvedený v priestore O a tri nekoplanárne vektory.

Kartézsky súradnicový systém v priestore (na rovine) sa nazýva množina bodu a bázy, t.j. množina bodu a troch nekoplanárnych vektorov (2 nekolineárne vektory) vychádzajúcich z tohto bodu.

Bodka O nazývaný pôvod; priamky prechádzajúce počiatkom v smere základných vektorov sa nazývajú súradnicové osi - úsečka, ordináta a aplikačná os. Roviny prechádzajúce súradnicovými osami sa nazývajú súradnicové roviny.

Zvážte ľubovoľný bod vo vybranom súradnicovom systéme M. Predstavme si pojem bodová súradnica M. Vektor, ktorý spája začiatok s bodom M. volal vektor polomeru bodov M.

Vektor vo vybranom základe môže byť spojený s trojicou čísel - jeho súradnicami: .

Vektorové súradnice polomeru bodu M. volal súradnice bodu M. v uvažovanom súradnicovom systéme. M(x,y,z). Prvá súradnica sa nazýva úsečka, druhá súradnica a tretia je aplikácia.

Kartézske súradnice v rovine sú definované podobne. Tu má bod len dve súradnice - úsečku a ordinátu.

Je ľahké vidieť, že pre daný súradnicový systém má každý bod určité súradnice. Na druhej strane, pre každú trojicu čísel existuje jeden bod, ktorý má tieto čísla ako súradnice.

Ak vektory brané ako základ vo vybranom súradnicovom systéme majú jednotkovú dĺžku a sú párovo kolmé, potom sa súradnicový systém nazýva Kartézsky pravouhlý.

Je ľahké to ukázať.

Smerové kosínusy vektora úplne určujú jeho smer, ale nehovoria nič o jeho dĺžke.