OSNOVNI POJMI VEKTORSKE ALGEBRE

Skalarne in vektorske količine

Iz tečaja osnovne fizike je znano, da so nekatere fizikalne količine, kot so temperatura, prostornina, telesna masa, gostota itd., Določene le s številsko vrednostjo. Takšne količine se imenujejo skalarne količine ali skalarji.

Za določitev nekaterih drugih veličin, kot so sila, hitrost, pospešek in podobno, je treba poleg številskih vrednosti določiti tudi njihovo smer v prostoru. Imenujemo količine, za katere je poleg absolutne vrednosti značilna tudi smer vektor.

Opredelitev Vektor je usmerjen odsek, ki ga določata dve točki: prva točka določa začetek vektorja, druga pa njegov konec. Zato tudi pravijo, da je vektor urejen par točk.

Na sliki je vektor prikazan kot odsek ravne črte, na katerem je s puščico označena smer od začetka vektorja do njegovega konca. Na primer, sl. 2.1.

Če začetek vektorja sovpada s točko , konec pa s piko , potem je vektor označen
. Poleg tega so vektorji pogosto označeni z eno malo črko s puščico nad njo . V knjigah je včasih puščica izpuščena, nato pa se za označevanje vektorja uporablja krepka pisava.

Vektorji vključujejo ničelni vektor, katerega začetek in konec sovpadata. Določeno je ali preprosto .

Razdalja med začetkom in koncem vektorja se imenuje njegova dolžina ali modul. Vektorski modul je označen z dvema navpičnima črtama na levi:
, ali brez puščic
oz .

Vektorji, vzporedni z eno premico, se imenujejo kolinearni.

Vektorji, ki ležijo v isti ravnini ali vzporedni z isto ravnino, se imenujejo komplanaren.

Ničelni vektor velja za kolinearnega kateremu koli vektorju. Njegova dolžina je 0.

Opredelitev Dva vektorja
in
se imenujejo enaki (slika 2.2), če:
1)kolinearni; 2) sosmerni 3) enako dolgi.

Napisano je takole:
(2.1)

Iz definicije enakosti vektorjev sledi, da pri vzporednem prenosu vektorja dobimo vektor, ki je enak začetnemu, zato lahko začetek vektorja postavimo na katero koli točko v prostoru. Takšni vektorji (v teoretični mehaniki, geometriji), katerih začetek se lahko nahaja na kateri koli točki v prostoru, se imenujejo prost. In prav te vektorje bomo obravnavali.

Opredelitev Vektorski sistem
se imenuje linearno odvisen, če obstajajo takšne konstante
, med katerimi je vsaj ena, ki je različna od nič in za katero velja enakost.

Opredelitev Osnova v prostoru se imenuje poljubni trije nekoplanarni vektorji, ki so vzeti v določenem zaporedju.

Opredelitev če
- baza in vektor, nato številke
imenujemo vektorske koordinate v tej osnovi.

Koordinate vektorja bomo zapisali v zavitem oklepaju za oznako vektorja. na primer
pomeni, da vektor v neki izbrani osnovi ima razširitev:
.

Iz lastnosti množenja vektorja s številom in seštevanja vektorjev sledi izjava o linearnih dejanjih na vektorje, ki so podani s koordinatami.

Da bi našli koordinate vektorja, če sta znani koordinati njegovega začetka in konca, je treba od ustrezne koordinate njegovega konca odšteti koordinato začetka.

Linearne operacije na vektorjih

Linearne operacije na vektorjih so operacije seštevanja (odštevanja) vektorjev in množenja vektorja s številom. Poglejmo jih.

Opredelitev Produkt vektorja na številko
imenujemo vektor, ki v smeri sovpada z vektorjem , Če
, ki ima nasprotno smer, če
negativno. Dolžina tega vektorja je enaka produktu dolžine vektorja na modul števila
.

p primer . Gradi vektor
, Če
in
(slika 2.3).

Ko vektor pomnožimo s številom, se njegove koordinate pomnožijo s tem številom.

Dejansko, če, potem

Produkt vektorja na
imenujemo vektor
;
- nasprotno usmerjena .

Upoštevajte, da se imenuje vektor, katerega dolžina je 1 samski(ali orto).

Z uporabo operacije množenja vektorja s številom lahko vsak vektor izrazimo skozi enotski vektor iste smeri. Dejansko delitev vektorja na njegovo dolžino (tj. množenje na ), dobimo enotski vektor v isti smeri kot vektor . Označili ga bomo
. Sledi, da
.

Opredelitev Vsota dveh vektorjev in imenujemo vektor , ki izhaja iz njihovega skupnega izvora in je diagonala paralelograma, katerega stranice so vektorji in (slika 2.4).

.

Po definiciji enakih vektorjev
Zato
-pravilo trikotnika. Pravilo trikotnika lahko razširimo na poljubno število vektorjev in tako dobimo pravilo mnogokotnika:
je vektor, ki povezuje začetek prvega vektorja s koncem zadnjega vektorja (slika 2.5).

Torej, da bi sestavili vektor vsote, morate začetek drugega pritrditi na konec prvega vektorja, začetek tretjega na konec drugega in tako naprej. Potem bo vektor vsote vektor, ki povezuje začetek prvega od vektorjev s koncem zadnjega.

Pri dodajanju vektorjev se dodajo tudi njihove ustrezne koordinate

Res, če
,

Če vektorji
in niso komplanarne, potem je njihova vsota diagonala
paralelopiped, zgrajen na teh vektorjih (sl. 2.6)

,

Kje

Lastnosti:

- komutativnost;

- asociativnost;

- distributivnost glede na množenje s številom

.

Tisti. vektorsko vsoto lahko transformiramo po enakih pravilih kot algebraično vsoto.

OpredelitevRazlika dveh vektorjev in tak vektor imenujemo , ki ga dodamo vektorju daje vektor . Tisti.
če
. Geometrično predstavlja drugo diagonalo paralelograma, sestavljenega iz vektorjev in s skupnim začetkom in usmerjeno od konca vektorja do konca vektorja (slika 2.7).

Projekcija vektorja na os. Lastnosti projekcij

Spomnimo se koncepta številske osi. Številska os je premica, na kateri je definirano:

smer (→);

izvor (točka O);

segment, ki je vzet kot enota obsega.

Naj obstaja vektor
in os . Od točk in spustite pravokotnice na os . Zberimo točke in - projekcije točk in (slika 2.8 a).

Opredelitev Vektorska projekcija
na os imenujemo dolžina segmenta
ta os, ki se nahaja med osnovama projekcije začetka in konca vektorja
na os . Vzame se z znakom plus, če je smer segmenta
sovpada s smerjo projekcijske osi in z znakom minus, če sta si ti smeri nasprotni. Oznaka:
.

O odločnost Kot med vektorjem
in os imenovan kot , na katerega je treba obrniti os po najkrajši možni poti tako da sovpada s smerjo vektorja
.

Bomo našli
:

Slika 2.8a prikazuje:
.

Na sl. 2,8 b): .

Projekcija vektorja na os je enaka produktu dolžine tega vektorja in kosinusa kota med vektorjem in osjo projekcij:
.

Lastnosti projekcij:

če
, potem se vektorji imenujejo ortogonalni

Primer . Vektorji so podani
,
.Potem

.

Primer. Če je začetek vektorja
je v bistvu
, in konec je pri piki
, nato vektor
ima koordinate:

O odločnost Kot med dvema vektorjema in imenujemo najmanjši kot
(Sl. 2.13) med temi vektorji, reducirani na skupni izvor .

Kot med vektorji in simbolično zapisano takole: .

Iz definicije sledi, da je kot med vektorji se lahko znotraj razlikujejo
.

če
, potem se vektorji imenujejo ortogonalni.

.

Opredelitev. Kosinuse kotov vektorja s koordinatnimi osemi imenujemo smerni kosinusi vektorja. Če vektor
tvori kot s koordinatnimi osemi

.

Najprej se spomnimo, kaj je koordinatna os, projekcija točke na os in koordinate točke na osi.

Koordinatna os- To je ravna črta, ki ima določeno smer. Lahko si ga predstavljate kot vektor z neskončno velikim modulom.

Koordinatna os označena s kakšno črko: X, Y, Z, s, t... Običajno se na osi izbere (poljubno) točka, ki jo imenujemo izhodišče in jo praviloma označimo s črko O. Iz te točke se izmerimo razdalje do drugih za nas zanimivih točk.

Projekcija točke na os- to je osnova pravokotnice, spuščene s te točke na to os (slika 8). To pomeni, da je projekcija točke na os točka.

Koordinata točke na osi- to je število, katerega absolutna vrednost je enaka dolžini odseka osi (v izbranem merilu), ki se nahaja med izhodiščem osi in projekcijo točke na to os. To število se vzame z znakom plus, če se projekcija točke nahaja v smeri osi od njenega izhodišča, in z znakom minus, če je v nasprotni smeri.

Skalarna projekcija vektorja na os- To število, katere absolutna vrednost je enaka dolžini odseka osi (v izbranem merilu), ki je zaprt med projekcijama začetne in končne točke vektorja. Pomembno! Ponavadi namesto izraza skalarna projekcija vektorja na os preprosto pravijo - projekcija vektorja na os, torej beseda skalar znižan. Vektorska projekcija je označen z isto črko kot projicirani vektor (v običajni, nekrepki pisavi), z nižjim (praviloma) indeksom imena osi, na katero se ta vektor projicira. Na primer, če je vektor projiciran na os X A, potem je njegova projekcija označena z x. Pri projiciranju istega vektorja na drugo os, recimo na os Y, bo njegova projekcija označena z y (slika 9).

Za izračun projekcija vektorja na os(na primer os X), je treba od koordinate njene končne točke odšteti koordinato začetne točke, tj.

a x = x k − x n.

Zapomniti si moramo: skalarna projekcija vektorja na os (ali preprosto projekcija vektorja na os) je število (ne vektor)! Poleg tega je projekcija lahko pozitivna, če je vrednost x k večja od vrednosti x n, negativna, če je vrednost x k manjša od vrednosti x n, in enaka nič, če je x k enak x n (slika 10).

Projekcijo vektorja na os lahko najdemo tudi tako, da poznamo modul vektorja in kot, ki ga tvori s to osjo.

Iz slike 11 je razvidno, da je a x = a Cos α

To pomeni, da je projekcija vektorja na os enaka produktu modula vektorja in kosinusa kota med smerjo osi in smerjo vektorja. Če je kot oster, potem je Cos α > 0 in a x > 0, če pa je top, potem je kosinus topega kota negativen, negativna pa bo tudi projekcija vektorja na os.

Koti, merjeni od osi v nasprotni smeri urinega kazalca, se štejejo za pozitivne, koti, merjeni vzdolž osi, pa so negativni. Ker pa je kosinus soda funkcija, to je Cos α = Cos (− α), se lahko pri izračunu projekcij koti štejejo v smeri urinega kazalca in nasprotni.

Pri reševanju problemov bodo pogosto uporabljene naslednje lastnosti projekcij: če

A = b + c +…+ d, potem a x = b x + c x +…+ d x (podobno kot druge osi),

a= m b, potem je a x = mb x (podobno za ostale osi).

Formula a x = a Cos α bo pogosto pojavijo pri reševanju problemov, zato ga morate vsekakor poznati. Poznati morate pravilo za določanje projekcije na pamet!

Ne pozabite!

Da bi našli projekcijo vektorja na os, je treba modul tega vektorja pomnožiti s kosinusom kota med smerjo osi in smerjo vektorja.

Še enkrat – na pamet!

Pri fiziki za 9. razred (I.K.Kikoin, A.K.Kikoin, 1999),
naloga №5
do poglavja " POGLAVJE 1. SPLOŠNE INFORMACIJE O PROMETU».

1. Kaj imenujemo projekcija vektorja na koordinatno os?

1. Projekcija vektorja a na koordinatno os je dolžina segmenta med projekcijama začetka in konca vektorja a (pravokotnice, spuščene iz teh točk na os) na to koordinatno os.

2. Kako je vektor premika telesa povezan z njegovimi koordinatami?

2. Projekcije vektorja premika s na koordinatne osi so enake spremembi pripadajočih koordinat telesa.

3. Če se koordinata točke s časom povečuje, kakšen predznak ima projekcija vektorja premika na koordinatno os? Kaj če se zmanjša?

3. Če se koordinata točke s časom poveča, bo projekcija vektorja premika na koordinatno os pozitivna, ker v tem primeru bomo šli od projekcije začetka do projekcije konca vektorja v smeri same osi.

Če se koordinata točke sčasoma zmanjša, bo projekcija vektorja premika na koordinatno os negativna, ker v tem primeru bomo šli od projekcije začetka do projekcije konca vektorja proti samemu vodilu osi.

4. Če je vektor premika vzporeden z osjo X, kakšen je potem modul projekcije vektorja na to os? Kaj pa modul projekcije istega vektorja na os Y?

4. Če je vektor premika vzporeden z osjo X, potem je modul projekcije vektorja na to os enak modulu samega vektorja, njegova projekcija na os Y pa je nič.

5. Določite predznake projekcij na os X vektorjev pomikov, prikazanih na sliki 22. Kako se med temi premiki spreminjajo koordinate telesa?

5. V vseh naslednjih primerih se koordinata Y telesa ne spremeni, koordinata X telesa pa se bo spremenila na naslednji način:

a) s 1;

projekcija vektorja s 1 na os X je negativna in je po absolutni vrednosti enaka dolžini vektorja s 1 . S takšnim gibanjem se bo koordinata X telesa zmanjšala za dolžino vektorja s 1.

b) s 2 ;

projekcija vektorja s 2 na os X je pozitivna in po velikosti enaka dolžini vektorja s 1 . S takšnim gibanjem se bo koordinata X telesa povečala za dolžino vektorja s 2.

c) s 3 ;

projekcija vektorja s 3 na os X je negativna in po velikosti enaka dolžini vektorja s 3 . S takim gibanjem se bo koordinata X telesa zmanjšala za dolžino vektorja s 3.

d) s 4;

projekcija vektorja s 4 na os X je pozitivna in po velikosti enaka dolžini vektorja s 4 . S takšnim gibanjem se bo koordinata X telesa povečala za dolžino vektorja s 4.

e) s 5;

projekcija vektorja s 5 na os X je negativna in po velikosti enaka dolžini vektorja s 5 . S takšnim gibanjem se bo koordinata X telesa zmanjšala za dolžino vektorja s 5.

6. Če je vrednost prevožene razdalje velika, ali je lahko modul pomika majhen?

6. Mogoče. To je posledica dejstva, da je premik (vektor odmika) vektorska količina, tj. je usmerjen odsek ravne črte, ki povezuje začetni položaj telesa z njegovimi poznejšimi položaji. In končni položaj telesa (ne glede na prevoženo razdaljo) je lahko poljubno blizu začetnemu položaju telesa. Če končni in začetni položaj telesa sovpadata, bo modul premika enak nič.

7. Zakaj je v mehaniki vektor gibanja telesa pomembnejši od poti, ki jo je prepotovalo?

7. Glavna naloga mehanike je določiti položaj telesa kadarkoli. Če poznamo vektor gibanja telesa, lahko določimo koordinate telesa, tj. položaj telesa v katerem koli trenutku in če poznamo samo prevoženo razdaljo, ne moremo določiti koordinat telesa, ker nimamo podatkov o smeri gibanja, lahko pa le ocenimo dolžino prehojene poti v določenem času.

odgovor:

Lastnosti projekcije:

Lastnosti vektorske projekcije

Lastnost 1.

Projekcija vsote dveh vektorjev na os je enaka vsoti projekcij vektorjev na isto os:

Ta lastnost vam omogoča, da zamenjate projekcijo vsote vektorjev z vsoto njihovih projekcij in obratno.

Lastnost 2.Če vektor pomnožimo s številom λ, potem se s tem številom pomnoži tudi njegova projekcija na os:

Nepremičnina 3.

Projekcija vektorja na os l je enaka produktu modula vektorja in kosinusa kota med vektorjem in osjo:

Orthova os. Razčlenitev vektorja na koordinatne enotske vektorje. Vektorske koordinate. Lastnosti koordinat

odgovor:

Enotski vektorji osi.

Pravokotni koordinatni sistem (katere koli dimenzije) je prav tako opisan z nizom enotskih vektorjev, poravnanih s koordinatnimi osemi. Število enotskih vektorjev je enako dimenziji koordinatnega sistema in so vsi pravokotni drug na drugega.

V tridimenzionalnem primeru so običajno označeni enotski vektorji

Lahko se uporabijo tudi simboli puščice in .

V tem primeru za desni koordinatni sistem veljajo naslednje formule z vektorskimi produkti enotskih vektorjev:

Razčlenitev vektorja na koordinatne enotske vektorje.

Enotski vektor koordinatne osi je označen z , osi z , osi z (slika 1)

Za vsak vektor, ki leži v ravnini, velja naslednja ekspanzija:

Če vektor ki se nahaja v prostoru, potem ima ekspanzija v enotskih vektorjih koordinatnih osi obliko:

Vektorske koordinate:

Če želite izračunati koordinate vektorja, če poznate koordinate (x1; y1) njegovega začetka A in koordinate (x2; y2) njegovega konca B, morate od koordinat konca odšteti koordinate začetka: ( x2 – x1; y2 – y1).

Lastnosti koordinat.

Razmislite o koordinatni premici z izhodiščem v točki O in enotskim vektorjem i. Potem je za vsak vektor a na tej premici: a = axi.

Številsko os imenujemo koordinata vektorja a na koordinatni osi.

Lastnost 1. Pri dodajanju vektorjev na osi se dodajo njihove koordinate.

Lastnost 2. Ko vektor pomnožimo s številom, se njegova koordinata pomnoži s tem številom.

Točkovni produkt vektorjev. Lastnosti.

odgovor:

Skalarni produkt dveh neničelnih vektorjev je število

enak zmnožku teh vektorjev in kosinusa kota med njima.

Lastnosti:

1. Skalarni produkt ima komutativno lastnost: ab=ba

Skalarni produkt koordinatnih enotskih vektorjev. Določanje skalarnega produkta vektorjev, določenih z njihovimi koordinatami.

odgovor:

Točkovni produkt (×) enotskih vektorjev

(X)	jaz	J	K
jaz
J
K

Določanje skalarnega produkta vektorjev, določenih z njihovimi koordinatami.

Skalarni produkt dveh vektorjev in njunih koordinat je mogoče izračunati s formulo

Navzkrižni produkt dveh vektorjev. Lastnosti vektorskega produkta.

odgovor:

Trije nekomplanarni vektorji tvorijo desnosučni trojček, če se od konca tretjega vrti od prvega v drugega v nasprotni smeri urnega kazalca. Če v smeri urinega kazalca, potem levo, če ne, pa v nasprotni smeri ( pokaži, kako je pokazal z "ročaji")

Navzkrižni produkt vektorja A v vektor b imenujemo vektor od katerih:

1. Pravokotno na vektorje A in b

2. Ima dolžino, ki je numerično enaka površini paralelograma, oblikovanega na a in b vektorji

3. Vektorji, a ,b, In c tvorijo desni trojček vektorjev

Lastnosti:

1.

3.

4.

Vektorski produkt koordinatnih enotskih vektorjev. Določanje vektorskega produkta vektorjev, določenih z njihovimi koordinatami.

odgovor:

Vektorski produkt koordinatnih enotskih vektorjev.

Določanje vektorskega produkta vektorjev, določenih z njihovimi koordinatami.

Naj sta vektorja a = (x1; y1; z1) in b = (x2; y2; z2) podana s svojimi koordinatami v pravokotnem kartezičnem koordinatnem sistemu O, i, j, k, trojka i, j, k pa je desničar.

Razširimo a in b v bazična vektorja:

a = x 1 i + y 1 j + z 1 k, b = x 2 i + y 2 j + z 2 k.

Z uporabo lastnosti vektorskega produkta dobimo

[A; b] = =

= x 1 x 2 + x 1 y 2 + x 1 z 2 +

+ y 1 x 2 + y 1 y 2 + y 1 z 2 +

+ z 1 x 2 + z 1 y 2 + z 1 z 2 . (1)

Po definiciji vektorskega produkta najdemo

= 0, = k, = - j,

= - k, = 0, = i,

= j, = - i. = 0.

Ob upoštevanju teh enakosti lahko formulo (1) zapišemo takole:

[A; b] = x 1 y 2 k - x 1 z 2 j - y 1 x 2 k + y 1 z 2 i + z 1 x 2 j - z 1 y 2 i

[A; b] = (y 1 z 2 - z 1 y 2) i + (z 1 x 2 - x 1 z 2) j + (x 1 y 2 - y 1 x 2) k. (2)

Formula (2) daje izraz za vektorski produkt dveh vektorjev, določenih z njunima koordinatama.

Nastala formula je okorna.Z zapisom determinant jo lahko zapišete v drugi obliki, ki je primernejša za pomnjenje:

Običajno je formula (3) zapisana še krajše:

Naj sta v prostoru podana dva vektorja in . Odložimo s poljubne točke O vektorji in . Kot med vektorji imenujemo najmanjši od kotov. Določeno .

Razmislite o osi l in nanj narišite enotski vektor (tj. vektor, katerega dolžina je enaka ena).

Pod kotom med vektorjem in osjo l razumeti kot med vektorjema in .

Torej naj l je neka os in je vektor.

Označimo z A 1 in B 1 projekcije na os l oziroma točk A in B. Pretvarjajmo se, da A 1 ima koordinato x 1, A B 1– koordinirati x 2 na osi l.

Potem projekcija vektorja na os l imenovana razlika x 1 – x 2 med koordinatama projekcij konca in začetka vektorja na to os.

Projekcija vektorja na os l bomo označili.

Jasno je, da če je kot med vektorjem in osjo l pikantno torej x 2> x 1, in projekcija x 2 – x 1> 0; če je ta kot top, potem x 2< x 1 in projekcija x 2 – x 1< 0. Наконец, если вектор перпендикулярен оси l, To x 2= x 1 in x 2– x 1=0.

Tako je projekcija vektorja na os l je dolžina segmenta A 1 B 1, vzeto z določenim znakom. Zato je projekcija vektorja na os število ali skalar.

Projekcija enega vektorja na drugega se določi podobno. V tem primeru se najdejo projekcije koncev tega vektorja na premico, na kateri leži 2. vektor.

Poglejmo nekaj osnovnih lastnosti projekcij.

LINEARNO ODVISNI IN LINEARNO NEODVISNI VEKTORSKI SISTEMI

Razmislimo o več vektorjih.

Linearna kombinacija teh vektorjev je katerikoli vektor oblike , kjer je nekaj števil. Števila se imenujejo koeficienti linearne kombinacije. Pravijo tudi, da se v tem primeru linearno izraža preko teh vektorjev, tj. se iz njih pridobi z uporabo linearnih dejanj.

Na primer, če so podani trije vektorji, se lahko naslednji vektorji obravnavajo kot njihova linearna kombinacija:

Če je vektor predstavljen kot linearna kombinacija nekaterih vektorjev, potem rečemo, da je položeno vzdolž teh vektorjev.

Vektorji se imenujejo linearno odvisen, če obstajajo števila, ki niso vsa enaka nič, tako da . Jasno je, da bodo dani vektorji linearno odvisni, če je kateri koli od teh vektorjev linearno izražen z drugimi.

V nasprotnem primeru, tj. ko je razmerje izvaja le takrat, ko , se ti vektorji imenujejo linearno neodvisen.

1. izrek. Katera koli dva vektorja sta linearno odvisna, če in samo če sta kolinearna.

Dokaz:

Naslednji izrek lahko dokažemo podobno.

2. izrek. Trije vektorji so linearno odvisni, če in samo če so komplanarni.

Dokaz.

OSNOVA

Osnova je zbirka neničelnih linearno neodvisnih vektorjev. Elemente baze bomo označili z .

V prejšnjem odstavku smo videli, da sta dva nekolinearna vektorja na ravnini linearno neodvisna. Zato je po izreku 1 iz prejšnjega odstavka baza na ravnini katera koli dva nekolinearna vektorja na tej ravnini.

Podobno so kateri koli trije nekoplanarni vektorji linearno neodvisni v prostoru. Posledično tri nekoplanarne vektorje imenujemo baza v prostoru.

Naslednja trditev drži.

Izrek. Naj bo osnova podana v prostoru. Potem lahko vsak vektor predstavimo kot linearno kombinacijo , Kje x, l, z- nekaj številk. To je edina razgradnja.

Dokaz.

Tako baza omogoča, da je vsak vektor enolično povezan s trojčkom števil – koeficienti razširitve tega vektorja v bazne vektorje: . Velja tudi obratno, za vsaka tri števila x, y, z z osnovo lahko primerjate vektor, če naredite linearno kombinacijo .

Če je osnova in , nato pa številke x, y, z se imenujejo koordinate vektorja v dani osnovi. Vektorske koordinate so označene z .

KARTEZIČNI KOORDINATNI SISTEM

Naj bo v prostoru podana točka O in trije nekoplanarni vektorji.

Kartezični koordinatni sistem v prostoru (na ravnini) je skupek točke in baze, tj. niz točke in treh nekoplanarnih vektorjev (2 nekolinearna vektorja), ki izhajajo iz te točke.

Pika O imenovan izvor; premice, ki potekajo skozi koordinatno izhodišče v smeri baznih vektorjev, imenujemo koordinatne osi - abscisna, ordinatna in aplicirana os. Ravnine, ki potekajo skozi koordinatne osi, imenujemo koordinatne ravnine.

Upoštevajte poljubno točko v izbranem koordinatnem sistemu M. Uvedimo pojem koordinat točke M. Vektor, ki povezuje izhodišče s točko M. klical radijski vektor točke M.

Vektorju v izbrani bazi lahko pridružimo trojček števil – njegove koordinate: .

Koordinate vektorja radija točke M. se imenujejo koordinate točke M. v obravnavanem koordinatnem sistemu. M(x,y,z). Prva koordinata se imenuje abscisa, druga je ordinata, tretja pa aplikata.

Podobno so določene kartezične koordinate na ravnini. Tu ima točka samo dve koordinati - absciso in ordinato.

Preprosto je videti, da ima vsaka točka za določen koordinatni sistem določene koordinate. Po drugi strani pa za vsako trojko števil obstaja edinstvena točka, ki ima ta števila kot koordinate.

Če imajo vektorji, vzeti kot osnova v izbranem koordinatnem sistemu, enotno dolžino in so v parih pravokotni, se koordinatni sistem imenuje Kartezični pravokotnik.

To je enostavno pokazati.

Smerni kosinusi vektorja popolnoma določajo njegovo smer, ne povedo pa ničesar o njegovi dolžini.